Российские ученые предложили математическую модель для анализа трехмерных структур

Ученые Кольского научного центра РАН и Инженерной школы Мурманского арктического университета разработали универсальную математическую модель для превращения данных томографии в четкие топологические выводы. Метод не требует попарного перебора всех объектов и подходит для анализа любых трехмерных многофазных систем — от горных пород и сплавов до биологических тканей.

Трехмерные исследования стремительно становятся новым стандартом в науке. Первыми преимущества 3D-визуализации оценили медики: компьютерная томография раскрывает внутреннее строение организма там, где обычный рентген дает лишь плоский силуэт. Сегодня этот подход активно осваивают материаловедение, геология, горное дело и биология. Ученые все чаще работают не с плоскими снимками, а с объемными цифровыми моделями реальных объектов. Параллельно растут вычислительные мощности, позволяющие обрабатывать и анализировать огромные массивы трехмерных данных.

Однако получить объемную модель — лишь половина дела. Главная задача — правильно интерпретировать то, что на ней изображено. В биологических образцах томограмма фиксирует распределение тканей и клеточных структур. В геологии и материаловедении объем делится на фазы: области с разным составом и свойствами. Например, в горной породе это могут быть зерна различных минералов, а в новом композитном материале — включения металла, оксидов или сложных соединений. Для практиков важно не просто увидеть эти фазы, но и понять, как они расположены относительно друг друга, где проходят границы и какие участки наиболее перспективны для добычи или обработки.

Ключ к пониманию свойств материала или ткани кроется во взаимодействии фаз внутри объема. Анализ обычно проходит в два этапа. Сначала исследуют внутреннюю структуру каждой фазы: состоят ли ее частицы из цельных блоков или пронизаны каналами и порами. Каковы их размеры и как они распределены — равномерно или сгруппированы. Затем переходят к вопросам, как фазы связаны между собой, что заполняет пустоты, образуют ли фазы протяженные цепочки или изолированные островки. Чтобы результаты таких исследований можно было сравнивать, проверять и использовать в расчетах, их необходимо перевести на строгий математический язык.

По мнению исследователей, для этого отлично подходят числа Бетти — фундаментальные показатели из раздела математики, называемого алгебраической топологией. Простыми словами, β₀ описывает количество отдельных частиц или связных областей, β₁ — число сквозных тоннелей или каналов, а β₂ — количество полностью замкнутых внутренних полостей. Несмотря на простоту этих понятий, числа Бетти дают мощный аппарат для точного описания формы и внутренней архитектуры сложных многофазных систем.

Хотя чисел Бетти всего три, динамика их изменений при объединении фаз порождает множество сценариев. Важно и то, что исходные значения β для разных фаз могут сильно отличаться, что добавляет анализу глубины. Чтобы не гадать, а точно классифицировать каждый случай, авторы разработали строгую математическую схему. Они доказали, как именно изменение каждого из трех чисел Бетти при объединении фаз связано с конкретными физическими процессами: слиянием частиц, заполнением пустот или рождением новых каналов.

Итогом работы стали готовые таблицы-алгоритмы, которые превращают сырые данные томографии в четкие топологические выводы.

Источник: Официальный ресурс Министерства образования и науки Российской Федерации